なぜ笑うんだい？S&P500の年次収益率は正規分布だよ
少し前にS＆P500の年次収益率が正規分布に従うという こちらのブログ記事 を読みました．ファイナンスの実証分析の常識ではインデックスを含む大抵の銘柄で収益率の分布は正規分布より裾の厚い分布になることが知られています．しかし，それはもっと高頻度のデータでの話，すなわち日次や週次，どんなに低頻度でも月次ぐらいまででしょう．株価のような入手が極めて容易いデータについてあえて年次データを使うようなことはほぼありません．統計分析はデータをあつめてなんぼの世界なのであえてスカスカのデータを使うのはデータ演習課題をちゃっちゃと済ませたい学生ぐらいなものなのです． またファイナンスの専門家界隈では収益率を計算する際には連続複利収益率（対数価格比）が通常用いられ，普通の意味での収益率である単純利益率は理論的には価格の非負性が保証されないため，あまり好まれません． 今回僕が調べたところ上記のブログの通りS＆P500の「年次の単純利益率」に関しては正規分布としていいんじゃないかという結果が確認できました．これが奇跡のバランスの上になりたっているのか，もっとロバストな結果で他の資産価格でも成り立つことなのかはいまいち不明でさらなる調査が必要なのですが，現時点でわかっているデータのふるまいについてありのままに書いていきたいと思います． まず，そもそも単純利益率と連続複利収益率の関係について簡単に書きます．単純利益率と連続複利収益率はそれぞれ R＝(今期の価格ー前期の価格)/前期の価格 r=log(今期の価格/前期の価格) と定義されます．logは自然対数です．連続複利収益率はその名の通り，前期から今期の間に起こった価格変化に対し，連続的に複利計算したときの利回りを表しています．ここではRを単利，rを複利と略して呼ぶことにします．両者には r=log(1+R)=R-(R^2)/2＋・・・ という関係があり，Rがゼロに近いときはほぼ同じ値ですが，ゼロから離れると -(R^2)/2の影響でrが小さく評価されます．実際のSP500のデータでみてみると，週次と月次ではほぼ差はみられないのですが，年次になると結構な差が出ます(図1)．ちなみに今回のデータは1927年12月26日から2022年10月31日までで，週次で4948週，月次で1139か月，年次で95年となっています． 図1：単利(赤...